?

Log in

No account? Create an account

idrussia

Как ты определяешь себя в этой жизни? (с) Шармута


Previous Entry Share Next Entry
О смене парадигмы, Рассказ о том как физики отказались от материи . Часть I
idrussia
Вики: парадигма в науке — это совокупность тех идей и методов, которые приняты в научном сообществе в рамках устоявшейся научной традиции. Это образцовый метод принятия решений, модель мира или его частей, принимаемые большим количеством людей.

Как видим, парадигма - дело не шуточное. Это та рамка, в которую вставлена картина мира для большинства людей. Это взаимоувязанная система взглядов, наивысшее обобщение достижений мысли, принятое не кем-нибудь, а научным сообществом, то бишь, большим количеством думающих людей.

Как ни странно, но парадигмы изменяются. Этот интеллектуальный колосс, воздвигаемый многими трудами, неизменно оказывался на глиняных ногах и разрушался самими же людьми с тем, чтобы построить новый, еще более величественный. Первым о смене парадигм ( paradigm shift) как о процессе заговорил историк науки Томас Кун в книге «Структура научных революций» (1962).

Интересно, что глубоко изучив вопрос г-н Кун пришел к выводу, что «Новая научная истина не достигает триумфа путём убеждения своих оппонентов и их просветления, но это, скорее, происходит оттого, что её оппоненты в конце концов умирают и вырастает новое поколение, с ней знакомое». Оптимистично, да?

То есть, во все века даже самая высокообразованная часть человечества - научное сообщество - не слишком отличалось … мнэ-э … от стада баранов. И сейчас, видимо, не сильно отличается, ибо ничего такого, что говорило бы об обратном, за последние полвека не произошло. Но тема не об этом.

Тема о том, что процесс смены парадигм продолжается. Нам «посчастливилось» жить прямо внутри этого процесса. Причем идет он так же неспешно и трудно как и в давние века. Так же принципиально и радикально меняется мировоззрение. Но, что самое удивительное, процесс идет! Прямо на наших глазах. Вот об этом процессе в науке «физика», а, главное, о его направлении я и хочу поговорить в этой теме. Ведь многие этого даже не замечают!


Всем, конечно, интересно, что на что меняем. Поэтому сразу скажу об этом. Классическую парадигму сменяет другая. Назовем её квантовоматематическая. Из изложения станет ясно почему именно так. Пока сильно задумываться не стоит.

Классическая парадигма … эх, она впитана нами, что называется, с молоком матери. Школа … институт … жизнь. Под классической парадигмой мы будем понимать тот взгляд на мир, который сформирован трудами Галилея, Ньютона, Максвелла и многих-многих других, согласно которому мы имеем пространство, время, силы, материальные тела в пространстве, у которых есть координаты, скорости, ускорения, масса и так далее.

Принцип построения теорий был такой же простой, как у чукчи: что вижу, о том и пою (описываю). Да простят меня великие ушедшие за такое сравнение.

Динамика (сила) правит бал в этом мире. Природа сил, однако, не известна. Она остается «за скобками». Их действие просто постулируется. А как и что - спрашивать считается неприличным. Конечные материальные тела перемещаются друг относительно друга в пространстве с той или иной скоростью. Время идет вперед. Системы делятся на замкнутые и открытые. Сплошные тела, согласно классической парадигмы, имеют границы, поэтому для эволюции таких систем помимо уравнений динамики задаются граничные и начальные условия.

Важное значение в классической парадигме имеет понятие «материальная точка». Вследствие конечности размеров тела от него всегда можно мысленно удалиться настолько, что конкретными размером и формой тела можно пренебречь. Системы часто представляются как системы материальных точек. А вот и базовый постулат: «Одновременное же задание всех координат и скоростей полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее её движение» (ЛЛ-1 Гл.1 параграф 1).

Обратим внимание на использованные оговорки «как показывает опыт» и «в принципе». Идет прямая ссылка на опытные факты, известные науке. Человек видел, что все происходит именно так и поэтому он был абсолютно уверен в той парадигме, которую мы здесь называем классической. Многие и до сих пор уверены, что «одновременное задание всех координат и скоростей» возможно и что это позволит «в принципе предсказать».


Таким образом, классический мир – это мир материи и её движений, поддающийся анализу, образный, предсказуемый и сепарабельный. Материалисты ликовали и в воздух чепчики бросали... Это я далеко не все «красоты» этого мира описал. О нем можно писать бесконечно. Сепарабельный же он в том смысле, что классические тела отделены друг от друга и от вмещающего пространства. У них есть границы. А граница на замке. В сплошных средах отделены друг от друга составляющие их частицы (молекулы воды, например, не проникают друг в друга).

Все это великолепное богатство базируется на классическом «можно пренебречь». Чем-то напоминающим русское «авось». И во многих случаях действительно кое-чем можно пренебречь, например, тепловым движением молекул при анализе движения небесных тел. То есть, когда нас интересует макромир, микромиром можно пренебречь. И это есть колоссальной важности эмпирический факт. Хотя сегодня даже тут уже не все «слава богу».

Например, известен далеко не классический макроэффект «сверхпроводимость». А уж о попытках вторжения с классическими ломом и лопатой в мир атомов и молекул, в микромир, и говорить нечего. Широко известно, что там у классиков наступает полный крах. Ничего объяснить не могут, даже линейчатость спектров.

Широко-то широко, но прошло уже сто лет, как классическая физика напоролась на рифы микромира, и, тем не менее, не до всех еще дошло, что она обанкротилась и пошла ко дну. Впрочем, принимая во внимание нежность души у пока еще многочисленных приверженцев «классики», сформулируем этот тезис более мягко: она почивает на обочине магистрали познания как «классическое приближение», как некое грубо-приблизительное, чувственное представление о макрореальности. Типа, когда «можно пренебречь», тогда можно вообразить, что имеем дело с некими «телами», силами, материей.

Когда все это открылось - это был шок. Вот это был настоящий шок. Это было настоящее открытие мира невидимого. Он, конечно, предполагался и раньше. Но жила надежда, что постепенно углубляясь в строение материи мы докопаемся до «первочастиц» и тем самым исчерпаем «мир невидимый», поймем, наконец, из чего и как все устроено. Однако, факты говорили о том, что пора развернуться на 180 градусов и честно признать, что этим надеждам не суждено сбыться. Это уже совсем другой взгляд на мир, другая парадигма.

Что делать? Как быть, думали бедные физики, волею судеб первыми обнаружившие катастрофические пробоины в борту классической парадигмы? Бежать, куда глаза глядят? Спрятаться под куст? Застрелиться? Н-е-е-е-т. Не такие они были. Это были настоящие бойцы. Суровые рубаки. Они засучили рукава и начали ваять новую парадигму. Ту, которую мы назвали квантовоматематической. Традиционное название «квантовомеханическая», но оно дает неправильное направление мыслям.

Да, причем тут механика? Механика тут совершенно не при чем. Разве что именно на ней точили растущие новые зубки. Ну дык и что? А вот математика причем. Очень даже причем, как вы, надеюсь, увидите из дальнейшего.

В настоящее время как законченное изделие парадигма отсутствует. Но есть зачатки. Ростки. Фрагменты. Идеи. Вот про идеи и поговорим.


Идей родилось на удивление много. Наверное, потому, что главная из них заключалась в том, чтобы спустить фантазии с поводка. Собственно, другого выхода и не было. Ньютоновское «гипотез не измышляю» стало анахронизмом. И ударили фонтаны «сумасшедших идей», закрутились водовороты математических «прибамбасов» и математических «фокусов-покусов».

Никого не смущало, что все эти фейерверки имели очень малое отношение к физике. Это были целенаправленные попытки приложить достижения математики к решению задач физики. Не взирая на очевидную «нефизичность» некоторых чисто математических манипуляций. Да-а-а … вот почему в названии появилось слово «математическая». Трудно гарантировать понимание этого фонтана идей математически слабо подготовленным людям. Даже невозможно. Так что придется вам немного поднапрячься.

Однако, не удержусь от нескольких вводных слов. Обвинять математиков в том, что они, де, напридумывали огромный воз и маленькую тележку того, чего нет в реальном мире, не стоит. Они и не отказываются от того, что их наука аксиоматическая и чисто абстрактная. Захотелось - ввели систему аксиом, и нате вам следствия. А есть ли в «реальном мире» многомерные пространства, комплексные или гиперкомплексные числа – их не волнует.

Далее. Если вам кажется, что физики нарочно выбирают самое сложное из созданного математиками, чтобы сделать понимание своих рассуждений невозможным, то это неверно. Наоборот, выбирают они максимально простое. Например, если операторы, то линейные, если соответствие, то взаимнооднозначное, если функции, то дифференцируемые и так далее. Но даже с этими упрощениями возможностей математики с лихвой хватает для построения фантастически мощного аппарата. Начнем.

Помните, в определении от ЛЛ-1 было словосочетание «состояние системы». Оно в классике полностью определялось заданием координат и скоростей. То есть, задали или как-то узнали и полностью определили механическое состояние системы. Точка.

Теперь это понятие существенно меняется. Вводится понятие «квантовое состояние» — это любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система. Прочувствуйте разницу. «Любое, в котором может находиться». Это совсем другой подход. Это не конкретное состояние. Это множество возможных состояний. Формулировка явно не передает всей революционности нововведения.

Поэтому, на взгляд классика, в новом определении не видно ничего особо страшно нового. Понятно, что у всякой системы теоретически могут быть разные «возможные состояния». Ну и что? Надо всего лишь разобраться со всеми возможными «состояниями» и определить, в каком же из них находится система.

«Не-ет», говорит ему на это квантовик. «Ты, брат, не понимаешь сути новой парадигмы».

Вот вам и первая «засада» она же идея. Выясняется, что согласно новой парадигмы система находится одновременно, сразу во всех возможных состояниях! Сразу во всех! Вы только подумайте! С оговоркой, что есть вероятность обнаружить её в каком-то одном из них. Эта идея по другому называется «принцип суперпозиции». Суперпозиции чего? Дык, состояний же! Тут эрудированный классик обычно падает в легкий обморок.

Падает оттого, что не может представить, как это может быть. Как это сразу во всех? Какие еще «суперпозиции»? А как же детерминизм? Мы ж привыкли … Не доходит до него нечеловеческая мощь новой парадигмы. Не доходит. Но, может быть, потому, что не все карты (идеи) еще раскрыты?


Следующий сокрушительный удар по мозгам классик получит тогда, когда до него дойдет, что в новой парадигме определить полностью состояние квантовой системы в принципе невозможно. Вообще! Никак и никогда! Невозможно определить состояние системы! Опять обморок и надо откачивать бедолагу.

«Почему? В чем дело? У вас что, руки поотсохли?» – бушует придя в себя классик. А ему вежливо объясняют, что потому, что как учит новая теория, точно и одновременно измерить координату и скорость малой частицы никак невозможно. Мешает этому так называемое «соотношение неопределенностей». Это идея Гейзенберга.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для новой парадигмы фундаментально. Это вам следует осознать. Переформулируем данный принцип следующим образом: никакая система не может быть исчерпывающе описана ни в какой момент времени. Конечно, кроме тривиальных случаев типа система есть и системы нет. Вот так система выскользнула из рук физиков.

Сильно? Да уж. Настолько мощно, что дальше ехать некуда! Но непривычно классическому мышлению. Не верится. Как же так? Ведь всю жизнь держали материю в руках, описывали, и прекрасно, заметьте, описывали замечательные, динамические, классические системы и вдруг … нельзя. Кошмар-р-р-р!

А описывали вы поведение макротел. Хотя иногда не очень обоснованно заменяли их «материальными точками». Но не пугайтесь. Описывали вы их в основном правильно. Ошибки были пренебрежимо малы. Так что можете радоваться. Квантовоматематическая парадигма не требует пересмотра достижений классической физики. Она собирается лишь заткнуть пробоины в борту. Ну и лишний раз напомнить, что даже если «можно пренебречь», то это не означает что можно забыть.

Так что ничего не поделаешь. Или-или. Отцы предлагают новые идеи. А уже ваше право их принимать или не принимать и, сложив руки, грустно ждать конца.



Теперь обсудим ту идею, которая касается «жизненного пространства».

Под этим будем понимать ту арену, на которой разворачивается квантовоматематическое действо. Она меняется. Она сильно отличается от классической. Так сильно, что даже нельзя сравнивать. Это нечто немыслимое в классической физике. Отметим, что данное расширение это тоже ноу-хау новой парадигмы, не менее принципиальное и фундаментальное, чем предыдущие.

Однако, во избежание нехороших последствий, я обращаюсь к тем физикам-классикам, у которых неважно со здоровьем, с советом дальше эту тему не читать. Как бы чего не вышло. Смотрите, я предупредил. А там дело ваше.

Так вот. Арена действа. Это важный момент. В классической физике это были 3D пространство и время. Они и в классике были не материальными. Но «соблюдали приличия» в том смысле, что 3D пространство моделировало то пространство, в котором мы живем, а время строго равномерно шло только вперед.

В новой парадигме арена действа это абстрактное, математическое, бесконечномерное, векторное пространство «состояний». Гильбертово, что означает, со скалярным произведением. Над полем комплексных чисел. Вот вам новая основа, фундамент, идея, постулат и т.д и т.п., короче, арена всего действа, которое совершается в квантовоматематическом мире. Любуйтесь! Заметьте, что требование изотропности отсутствует. И никаких «приличий» не требуется соблюдать.

Это пространство ничего не моделирует. Это заготовка. Для чего? Для операций. В чем? Да в нем же. И??? Поскольку физики в растерянности, их рабочие места быстренько занимают математики. Потому что физики безнадежно отстали со своим убогим инструментарием. Они привыкли вглядываться в убогое 3D пространство, в то время как надо вглядываться в многомерное гильбертово пространство состояний. Вот куда глядеть своим внутренним взором надо! Это ж как топор и атомная бомба! Вот там настоящий простор для фантазий. Кого? Да математиков же!

А как бы вы хотели? Вы же хотели увидеть элементы невидимого мира? Вы только вдумайтесь в нелепость постановки своей задачи! Хотели? Признавайтесь! И что за детский лепет «как они выглядят на самом деле»? Вы же все равно «в реале» их никогда не увидите. Они же невидимы! Поэтому примененный квантовиками ход – смелое расширение арены – абсолютно правильный, беспроигрышный. Не зависимо от того, нравится он нам или не нравится.

Я ж вам говорил – «суровые рубаки». Теперь и вы видите, что «сюсей-пусей» не будет. Будут исключительно одни "хуки", "апперкоты" и "пыльным мешком по голове".


Однако, этим дело отнюдь не заканчивается. Из грубой заготовки следует научиться строгать реально проверяемые результаты. Как же из столь экзотического воображаемого объекта, как из чудовищно емкого гильбертова пространства рождаются те самые реальные проверяемые результаты? Как это может быть и может ли это быть вообще? Как это математикам удается нырнуть в муть голубую бесконечностей и вынырнуть живыми-невредимыми, да еще и с золотой рыбкой в зубах?

О-о-о! Это у них получается. Причем очень просто. Просто объяснить это не просто. Просто … просто... просто. Я, конечно, мог бы и увильнуть, сославшись на то, что эти заметки отнюдь не курс лекций по квантовой механике. Читайте, мол, учебники и будет вам щастье. Но я-то знаю, что счастья не будет. Народ читать-то читает, но не въезжает. Поэтому попробую сам.

Так вот. Бесконечномерное и неизотропное комплексное пространство – это лишь подоснова, фундамент. Повод для рассуждений. На фундамент водружаются объекты. И он их всех держит. Практически без усилий (шутка). Выбор большой. Это могут быть функции, операторы, вектора и так далее. Ими математик заселяет свое воображаемое пространство.

Этот момент обычно опускается и авторы учебников сходу начинают парить мозги кто «волновыми функциями», кто «векторами состояний», определенными на пространстве состояний. Короче, следуют своим предпочтениям. И только где-то потом пробормочут, что результат от выбора пути не зависит. По хорошему же надо бы сразу заявить, что выбор объектов, заселяющих пространство не принципиален. Поэтому выбираете ли вы «волновые функции Шредингера или «матрицы» Гейзенберга суть от этого не меняется.

Тем не менее, что-то выбрать надо. Иначе как мы будем говорить? Ну, надо так надо. Выбираем наиболее общий объект, определенный на пространстве, который называется тензор. То есть, пойдем по пути, проложенным Гейзенбергом. Ибо его «вектор состояния» есть тензор первого ранга. Термин «вектор» здесь обозначает просто множество чисел в виде цепочки (строчка или столбец), неким образом упорядоченных. Цепочки эти бесконечной длины и все числа в них, вообще говоря, комплексные. Если вы скажете, что «это не вектора» и что «так в физике не бывает», то квантовик, не моргнув глазом, ответит «это в вашей не бывает, а в моей бывает».

Вообще-то надо отметить, что в физике термин «тензор» применяется обычно к тензорам на обычном 3D или на 4х-мерном пространстве-времени. Видите ли, так сложилось. ОТО, видите ли, надо уважать. Но мы-то тут причем? Пусть уважают, кто им мешает.

Итак, тензор это и будет тот объект, который сооружается математиком на фундаменте пространства состояний. Для каждой квантовой системы свой. Тензор, потому что нет никаких причин ограничиваться жесткими рамками «вектора состояний». Тензор, потому что, как окажется, для вычисления измеряемых величин придется фактически использовать тензорное произведение. Тензор, потому что чуть глубже копнешь, так сразу всплывают «матрицы плотности», а «волновые функции» вообще отдыхают.


Я прекрасно понимаю скептицизм «классиков», взирающих на эту ужасающую чисто абстрактную конструкцию и не знающих как к ней подступиться. Они так привыкли к определенности, что вообразить пространство «возможных состояний» с какими-то «тензорами» их мозг просто отказывается. Однако, согласитесь, что в позиции квантовика есть определенный пассионарный порыв, вызов, стремление. Эта призыв к борьбе. Отчаянной борьбе не на жизнь, а на смерть.

При этом квантовики следуют определенной логике. Они поклялись получить конкретные результаты. Любой ценой. Но при этом они учитывают, что конечные результаты должны быть получены в терминах макромира. Поскольку человек – это макросистема.

Сделаем еще один шаг им навстречу. Всякое пространство статично. Объекты в нем сооруженные – тоже. Но жизнь-то динамична. Что же «двигает» тензора? Как один «вектор состояния» переходит в другой? Да, как? А это на него подействовал оператор. Оператор – главное действующее лицо в нашей математической драме.

Вот ведь как бывает. Степеней свободы хоть отбавляй, а желания шевелиться-то и нет. Это я про пространство и объекты в нем. Поэтому орудуют в пространстве операторы. Это такие математические разбойники, которые делают с безвольными «объектами» что хотят. Например, передвигают их с места на место. Поворачивают, удлиняют или укорачивают. Переводят один в другой. А могут и вообще «отобразить» в другое пространство, так сказать, выслать за пределы … родины. Ххе!

У всех операторов есть одно замечательное свойство, за которое им можно все простить. А именно: они подчиняются нам! И только нам. Тем, кто их создает. И это нас очень устраивает. Что мы прикажем, то оператор и сделает. Это по нашей указке операторы орудуют в созданном нами же пространстве. Удобно? Конечно.

Надо сказать, что математики весьма преуспели в изобретении все новых и новых операторов. Сегодня операторы образуют свои «царства» или «семейства» или «виды» математических объектов. Они (операторы) тоже могут образовывать пространства, поля, кольца не хуже чисел или векторов. В этих «пространствах» в свою очередь вводятся алгебраические операции и пошло-поехало. «На колу мочало – начинай сначала».

Значит, дремлет, некий «вектор состояния» некой квантовой системы в своем тепленьком гильбертовом пространстве, дремлет, ничего не желает. А к нему тем временем в кромешной темноте и тишине подкрадывается оператор и вдруг БАЦ! – внезапно ДЕЙСТВУЕТ на него. Что будет с «вектором»? Он изменится (чуть не сказал «в лице»)...

Заметим, что оператор именно действует, а не «взаимодействует». Взаимодействуют тела у Ньютона, а вот операторы у квантовиков просто действуют. Можно сказать, насилуют объекты. Без намека на любовь. На этом моменте ясно видно как неумолимо расходятся пути материализма и квантовой парадигмы. Материалисты фыркают на квантовую парадигму, но ничего внятного противопоставить не могут и поэтому грустно собирают чепчики, разбросанные ранее, и вспоминают славное прошлое.

Если вы спросите меня как выглядит оператор в гильбертовом пространстве, то любителям образного мышления я предложу представить его в виде матрицы. Да. В виде матрицы. Эдакая бесконечная по строкам и столбцам таблица. Кстати, если матрица оператора единичная, то ничего с «вектором состояния» от его действия не произойдет.


Теперь есть на что действовать, есть чем действовать, нет только того, что надо получить. Вы возмущенно спросите, мол, как же так? Надо получить описание того, что происходит. В реальном мире. Вот тут стоп. Что происходит в реальном мире вы видите своими глазами. Зачем вам вся эта галиматья? А? То-то же.

Идея заключается в том, что физических величин в том смысле, в каком мы все привыкли их мыслить в классической физике в новой парадигме нет. Нет в ней координат, скоростей, масс, энергий и так далее. Ничего этого нет. Физики могут отдыхать и дальше. А работать будет вот эта «супер-пупер-нипель-дупель» идея, переворачивающая классическое мировоззрение вверх тормашками.

А что же есть здесь? Законный вопрос. А вот те самые операторы и есть. Новый, свежий взгляд на действительность. Не пугайтесь. Теперь надо мыслить так, что всякой физической величине l в квантовой парадигме сопоставлен линейный самосопряженный оператор L. А дать он нам должен наблюдаемую.

Это нечто новенькое. Да уж. В новой парадигме куда ни плюнь, обязательно в новую идею попадешь. Ква?нтовая наблюдаемая – это имя существительное. Это то звено, за которое мы вытащим всю цепь. Это конкретное значение конкретной физической величины, для которой и был написан оператор. Иногда саму «наблюдаемую» называют оператором. Правильно, … чего мелочиться? Почему не назвать и так, если народ все равно все хавает и ничего не понимает? Экстремисты есть везде.

Тем не менее. Вот оператор. Для физического понимания полезно осознавать, что норма оператора представляет собой наибольшую (абсолютную) величину числового значения данной физической величины. Это мы его так «подрихтовали». Сам термин «наблюдаемая» вводится для того, чтобы подчеркнуть мысль, что не все физические величины являются «наблюдаемыми». Например, температура и время являются физическими величинами, но не являются «наблюдаемыми».

Вот теперь у нас, наконец-то, есть весь «джентльменский» набор: пространство состояний с тензорами на нем, операторы, готовые к действию и наблюдаемые, которые будут сходить с конвейера. Осталось показать, как это нагромождение супер-идей работает.


Вот здесь-то мы и положим на стол джокер-идею о вероятностях. Теперь в самый раз. Потому что мы начинаем все, решительно все, настраивать на получение этой самой «наблюдаемой». Нам ведь нужен результат. А настройку вычислительной машины мы будем производить заворожено глядя на теорию вероятностей.

Все знают, что в эксперименте измеряются вещественные числовые значения физических величин. Конкретные. А у нас в пространстве состояний «квантовое состояние» — это любое возможное состояние, в котором может находиться наблюдаемая. Мыслим: раз «возможных» много, то это ансамбль, множество, статистика. Это значит есть среднее значение < l > наблюдаемой и дисперсия D(l ) наблюдаемой. Вот вам и вектор движения к вероятностям.

Далее. Пространство – оно просто предоставляет нам широчайшие возможности. Столь широкие, что, возможно, всеми его возможностями мы пользоваться и не будем. Нам для наших дел вполне хватит довольно узкого подпространства, на котором мы будем воздвигать объекты. А вот объекты мы довольно сильно и решительно ограничим. Чем? А вот как раз свойствами вероятностей как чисел, проживающих между ноль и один, включая их самих. Дело в том, что размер этих объектов (норма) будет у нас строго положительным, не будет равен нулю и не должен превышать единицу.

Постулированная комплексность элементов пространства состояний пусть вас не пугает – это хитрый, но чисто технический прием, оставляющий нам, как математикам, определенную «свободу рук» для манипуляций с мнимыми составляющими. Кажущийся идиотизм операций с комплексными числами корректируется отдельным правилом, согласно которому в чистом виде объекты, построенные на комплексном пространстве, не съедобны.

Например, если это «вектора», то их надо кушать парами. А пары составлять так, чтобы "на зубах" оставались бы только действительные числа. А мнимые части должны при этом в обязательном порядке взаимно уничтожиться. «Сгинь, нечистая сила!» Например, так получается при вычислении модуля вектора. Истина, она же идея, в том, что к вероятностям будет иметь отношение не столько сам «вектор состояния», сколько некие квадратичные конструкции из него.

Таким образом, «рихтовка» объектов пространства под наши нужды заключается в том, что все «объекты», построенные нами на его основе, мы будем ваять типа одной длины (а тензора, соответственно, нормы). Весь майдан, узнав об этом решении, воодушевленно кричал: «Так! Та-ак!» Да, вот именно так и никак иначе! И это, заметьте, еще одна идея! Размерчик объектов да будет один на всех и равен он да будет единице! Вот так отцы-основатели ковали орудия главного калибра. Аж жуть берет.

Известно, что любой ненулевой «вектор» или «тензор» можно отнормировать, если разделить все его элементы на его же модуль или норму. Вот этим свойством широко пользуются в квантовоматематическом мире. И правильно делают. «Вектора» или «тензора» на пространстве состояний при этом получают четкий математический смысл. Это смысл распределения или плотности вероятности. Вероятности чего? А вот этого без оператора понять совершенно невозможно.

Но сначала надо немного «облагородить» и их. А то ходят какие-то … не бритые.


Уже говорилось, что «всякой физической величине l в квантовой парадигме сопоставлен линейный самосопряженный оператор L». То есть, не абы какой. А почему именно такой? Дык в этом вся соль! И перец с горчицей. Смотрите. Зовут его «эрмитов». У него собственные вектора и собственные значения (числа) обладают рядом таких свойств, узнав про которые физики на него просто запали, а именно:

-собственные значения таких операторов вещественны.
-собственные вектора f1 и f2 таких операторов, принадлежащих различным собственным значениям с1 и c2 ортогональны между собой.
-если два оператора A и B имеют общую систему собственных векторов, то они коммутируют.
-собственные вектора эрмитова оператора образуют полный ортонормированный набор, т.е. любой вектор F, определенный в этой же области пространства состояний можно представить в виде ряда по собственным векторам оператора L:
F= ?ci * li где ci - некоторые константы, и это разложение будет точным.

Как видите, ну просто очень симпатичные свойства. Отцы это тоже заметили, восхитились и подумали, а что если … эх-ма … была не была … постульнуть... что если постульнуть, что единственно возможными значениями, которые может иметь физическая величина, которой сопоставлен оператор L, являются собственные значения li этого оператора, то бишь, решения операторного уравнения Lf= lf, где f – «собственный вектор оператора». А «вектор» - объект в пространстве состояний.

Это мы что сделали? А это мы, братцы, проквантовали физическую величину!!! Ура-а-а-а! Прочувствуйте торжественность момента! Вот только теперь «пазл» сошелся. Есть Сам Господин Оператор, задающий процедуру на пространстве, есть его Собственные Вектора, задающие распределение вероятностей и есть его Собственные Значения (с.з.), среди которых и наша «наблюдаемая». Уф! Аж вспотел. Ж-а-р-а…Ветилляторы компа воют как дикие волки в лесу...

Надо решать задачу на собственные значения! Математики – к бою! А физики? А они … они тоже пригодятся. Они помогут математикам «угадать» конкретный вид тех самых операторов. Не ждать же помощи от инопланетян.

Итак. Всякий «вектор» из «пространства состояний», кроме тривиально нулевого, соответствует некоторому состоянию некой системы. Он не обязан быть собственным вектором какого-то там оператора. Однонаправленные «вектора», отвечают одному и тому же «состоянию» системы ибо все имеют одну и ту же норму. Но любой из векторов может быть разложен по базису собственных векторов оператора. Проекторами, которые сами есть операторы. Впрочем, это мы уже слишком глубоко. Не будем …

Да-а-а. Красиво получилось. Даже жаль всю эту красоту выбрасывать в урну. А ведь придется! Ну … не совсем уж так в урну, а примерно туда же, куда пошла вся классика.

Хотите узнать как такое может быть – читайте продолжение истории.


Мне вот интересно, доходит до вас или не доходит? Боюсь, что не до всех доходит. Но ничего, не сразу Москва строилась. Меня тоже смущает многоходовость математических манипуляций в квантовоматематическом мире. А еще больше то, что работать в нем можно хочешь так, а хочешь эдак, хочешь через «волновые функции», хочешь через «вектора состояний». Да-а-а... Но ведь синицу в руки получить удается? Удается. Это факт и он не может быть случайностью!

Ладно, пойдем с другого конца. С реальности. В реальности есть измерения. В классической физике измерения, конечно, тоже проводились, и играли …мнэ-э … важную роль. Но. Но в этой парадигме их влиянием на объект измерения было принято пренебрегать (помните классическое «можно пренебречь»?).

Погрешности измерений не отрицались и даже изучались, но ставилась задача их минимизации. Погрешности были чем-то вроде надоедливой и неотвязной мухи, которая летала, жужжала, гадила, но не могла повлиять на движение величественного корабля науки. Пришлепнуть её, то есть достичь такой точности измерения, что погрешностью можно пренебречь, считалось делом чести ученого.

То есть, любая физическая величина, характеризующая систему, в «классике» подразумевалась имеющей объективно существующее значение. Надо лишь умудриться его измерить. Вот как ставился вопрос. Считалось (предполагалось), что это значение имеется совершенно независимо от того, подвергается система в данный момент измерению или нет. Это главный постулат объективно существующего материального мира. Очень сильный постулат. К несчастью или счастью оказавшийся не совсем верным.

Но до поры до времени верный. Пока мы играемся с макрообъектами. А это означает, что сам процесс измерения слабо влияет на объект измерения. Вы кладете помидоры на весы и смотрите на показания стрелки. Плюс-минус миллиграмм вас не волнует. В макромире жить очень уютно, душа за всякие там мелкости не болит. Ведь грубо-приблизительно-то все верно, можно опереться на измерения и поэтому разум не волнуется и спит спокойно.

Иное дело микромир и, далее, мир невидимый. Уменьшается объект измерения, уменьшается и соответствующий датчик прибора измерения. Однако. Объект может уменьшаться сколько ему угодно, а вот датчик – нет. И это принципиально. Обнаруживается принципиальное противоречие внутри процесса измерения. Возникает огромная проблема, которая раньше была не видна. А вот полезли в микромир и увидели.

Но полезли мы туда не «сдуру», а потому что хотели узнать «как все устроено». Потому что без знания устройства микромира наши знания о макромире гроша ломаного не стоят. Вот мы и полезли. Со своими макропредставлениями. С классической парадигмой. Ну и не пролезли. Зато увидели, что надо разбираться с процессом измерения. Причем разбираться серьезно, не по детски.

Новая парадигма «видит» возникшую трудность и по другому подходит к процессу измерения. Она его рассматривает как процесс взаимодействия между классическим прибором и квантовой системой. Как точку соединения двух разных миров. Прибор - железобетонно классический, то бишь, он ничто иное как объект макромира, поскольку именно он должен сообщить нам, макрообъектам, результат измерения в виде конечного числа (отношение с эталоном). У него есть координаты, энергия и так далее, все, что полагается классическому объекту.

А измеряемая величина, считается, принадлежит другому миру – невидимому (квантовоматематическому) – и до момента измерения находится в неопределенном состоянии – суперпозиции «всех возможных» состояний. Это такой постулат у новой парадигмы. У квантовой системы ничего классического нет, в смысле ничто из нас интересующего не имеет конкретного значения.

И вот, представьте, «они сошлись … вода и камень …лед и пламень». Два разных мира встретились в одной точке пространства и в один миг измерения. Там что-то происходит. Что? Извините, но этого я не имею возможности вам доложить! Это по прежнему покрыто мраком тайны. Над этим до сих пор безуспешно бьются лучшие умы. И предлагают разные решения. Мы будем следовать «традиционному» или «копенгагенскому» решению. Альтернативы, может, кратко упомянем в конце «мелким шрифтом». А подробнее … может, это хорошая задумка для следующей темы, если на то будет воля божья.

Итак, они сошлись. Случилось страшное. Мы видим, что изменились значения макро характеристик датчика. Изменились на конкретную конечную величину и это произошло на наших глазах. Не трудно догадаться, что и состояние измеряемой квантовой системы тоже изменилось! Обе системы изменились! Это научный факт! Причем для квантовой системы это событие имело роковой, необратимый характер. Вот это нечто существенно новенькое. Это интересная идея.

Почему это мы вдруг заговорили про необратимый процесс? Ведь до измерения все было (мы так думаем) «культурненько», «линейненько» и, следовательно, обратимо. А потому, что в момент измерения измеряемая система становится принципиально другой. Скачком, не плавно. Величина некоего её параметра вдруг становится конкретной. Её «вектор состояния» по этому параметру исчез, «сколлапсировал».



Автор: Zemljanin

  • 1

Хорошая статья

Точнее статьи.
Только ИМХО не стоит мешать всё в одну кучу, а именно:

1. Понятие моделей (с которыми работают физики и выводы (часто статистически обобщённые) являются аксиомами для других моделей).
2. Отход от понятия эксперемента, как _основного_ понятия физики 15-19 веков и отход от него (хорошо показать на примере Копенгагенской и многомировой интерпретаций квантовой механики).

3. Ну и после обзора этих 2-х _предварительных_ пунктов можно уже переходить к современной парадигме в физике, как "попытке на кончике пера построить теорию всего с минимальным числом свободных параметров" (с)

Согласен. Это всего лишь игры разума на память.

  • 1